河南理工大学研究生入学考试《常微分方程》考试大纲

 

一、本考试科目简介：

        常微分方程是研究微分方程求解的基本理论和基本方法的数学学科，是数学、信息及理力专业本科生的专业基础必修课。通过本课程教学，应使学生掌握一些常见微分方程的求解方法，能够做到将理论知识与实际问题相结合。

 

二、考试内容及具体要求：

第一章 绪论

        理解如何用微分方程解决实际问题；了解积分曲线和方向场概念；掌握常微分方程定义, 阶数, 线性和非线性, 解和隐式解，通解和特解，方程和方程组，定解条件和定解问题，驻定和非驻定，动力系统的概念。

第二章 一阶微分方程的初等解法

        掌握变量分离方程的解法，掌握可化为变量分离方程类型的解法，理解齐次、非齐次概念，熟练掌握线性方程的常数变易法，掌握解恰当方程的积分因子法，理解一阶隐方程和贝努利方程的解法。

第三章 一阶微分方程的解的存在定理

        掌握Picard逐步逼近方法，理解解的存在唯一性定理，了解解的延拓，连续性，可微性，唯一性。

第四章 高阶微分方程

        熟悉线性微分方程的一般理论，会用常数变易法解非齐线性方程，掌握常系数线性方程的解法（会区分齐次与非齐次方程解之间的关系），了解拉普拉斯变换法，理解高阶方程的降阶和幂级数解法。

第五章 线性微分方程组

        了解存在唯一性定理，线性微分方程组的一般理论，掌握Picard逼近方法，基解矩阵的求法，非齐线性微分方程组的常数变易公式。

第六章 非线性微分方程

        掌握零解的几种稳定性概念，会区分在不同条件下的稳定性态，了解稳定性的基本思想，理解其思想方法以及与其他课程之间的关系。

三、参考书目

    王高雄等编，《常微分方程》，高等教育出版社。