河南理工大学研究生入学考试《复变函数》考试大纲

        适用专业：数学类

一、课程的性质与设置目的和要求

        《复变函数》是为数学学科各专业开设的必修专业课，通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基础理论和方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，它也是一门提高学生数学思维方法和逻辑推理能力的训练课程。

        考核的形式为闭卷，着重对知识的理解的应用。

二、课程内容与考核目标

第一章  复数与复变函数

        1、课程内容：复数的几何表示法，区域、复变函数的极限与连续性。

        2、考核知识点：复数的运算，区域的表示，复变函数的极限与连续性。

        3、考核要求：熟练掌握复数的各种表示法。了解区域的概念，理解复变函数的概念及映射的概念，了解复变函数的极限与连续性。

第二章  解析函数

        1、课程内容：导数，C—R条件，解析函数，初等解析函数，初等多值函数。

        2、考核知识点：函数可导和解析的充要条件，初等函数的重要性质，支点。

        3、考核要求：理解复变函数导数概念，掌握函数解析的判定方法，了解初等函数的重要性质。

第三章  复变函数的积分

        1、课程内容：

        ①复积分定义，性质和计算公式；

        ②Cauchy定理，柯西积分公式，解析函数的无穷可微性；

        ③平均值公式，最大模原理，Liouville定理，Cauchy不等式；

        ④解析函数与调和函数的关系。

        2、考核知识点：柯西定理，柯西积分公式，解析函数的无穷可微性，最大模原理，解析函数与调和函数的关系。

        3、考核要求：理解积分定义及性质，掌握积分的计算法。会利用定理证明一些积分问题。

第四章  解析函数的幂级数表示法

        1、课程内容：

        ①复数项级数，复函数项级数；

        ②幂级数的性质；

        ③解析函数的泰勒展式；

        ④解析函数零点的孤立性及最大模原理。

        2、考核知识点：幂级数的收敛半径的求法，解析函数的泰勒展式，最大模原理。

        3、考核要求：理解复函数项级数收敛的概念，掌握幂级数的性质，能将一些简单的解析函数展开成泰勒级数。理解解析函数零点的孤立性和解析函数的最大模原理。

第五章  解析函数的洛朗展式与孤立奇点

        1、课程内容：解析函数的洛朗展式，解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷远点的性质，整函数与亚纯函数概念。

        2、考核知识点：解析函数的洛朗展式，整函数与亚纯函数，孤立奇点。

        3、考核要求：掌握将解析函数展开为洛朗级数的方法，会判断函数的孤立奇点，了解整函数与亚纯函数概念。

第六章  残数理论及其应用

        1、课程内容：

        ①残数及残数定理；

        ②用残数定理计算实积分；

        ③幅角原理，Rouche定理。

        2、考核知识点：残数定理、幅角原理、Rouche定理。

        3、考核要求：了解残数概念，掌握用残数定理围绕积分和实积分的方法，会运用Rouche定理。

第七章  保形变换

        1、课程内容：

        ①导数的几何意义；

        ②解析变换的保域性，保角性，保形性；

        ③线性变换；

        ④某些初等函数所构成的保形变换。

        2、考核知识点：导数的几何意义，线性变换，某些初等函数所构成的变换。

        3、考核要求：了解解析函数导数的几何意义，掌握线性变换及其性质，熟悉将某一区域通过线性变换和某些初等变换成另一区域。

三、参考书目

        1、钟玉泉编，《复变函数论》，高等教育出版社。

        2、余家荣编，《复变函数》，高等教育出版社。

        3、庄圻泰，张南岳编，《复变函数》，北京大学出版社。