河南理工大学研究生入学考试《实变函数》考试大纲

        适用专业：数学类

一、课程的性质与设置目的和要求

        实变函数是工科及高师院校数学专业的一门主要基础课，它的主要目的是改造数学分析的内容以更加适合研究客观世界。从以区间、连续函数为主要研究对象拓广到以点集、可测函数为主要研究对象。极限的概念也获得了很大的改进和弱化，使函数分析性质的讨论，从一致收敛、一致连续等很强的束缚中解脱出来。当然最主要的是勒贝格积分取代黎曼积分，从而极大地提高了运算的灵活性。总之，实变函数为现代数学各分支的发展提供了一个更合理更方便的分析基础，使得数学的现代化成了可能。

二、课程内容与考核目标

第一章  集合

        1、课程内容：集合及其运算。集的对等及其基数。

        2、考核知识点：集合之间的交、差、余运算。集列的上、下限集的概念及其交并表示。单调集列的收敛。――映射与集合对等及集合基数。可数集，不可数集、基数为C的集合。

        3、考核要求：掌握集合及其运算。集的对等及其基数。掌握集之间的交、差、余运算。掌握集列的上、下限集的概念及其交并表示。理解集列的收敛、单调集列的概念。掌握――映射，两集合对等及集合基数等概念。理解伯恩斯坦定理（不要求掌握证明），能利用定义及伯恩斯坦定理证明两集合对等。理解可数集，不可数集的意义，掌握可数集、基数为C的集合的性质，理解不存在最大基数的定理的意义。

第二章  点集

        1、课程内容：度量空间、n维欧氏空间。聚点、内点、界点等概念。开集、闭集、完备。直线上的开集、闭集及完备集的构造。

        2、考核知识点：n维欧几里得空间，点集间的距离，闭集﹑开集、Borel集。

        3、考核要求：明了n维欧氏空间中极限概念主要依赖于距离这个概念，从而了解邻域概念在极限理论中的作用。理解聚点、孤立点、内点、外点、界点的意义，掌握有关性质。理解开集、闭集、完备集的意义，掌握其性质。理解直线上开集、闭集、完备集的构造。理解康托集的构造、特性。

第三章  测度论

        1、课程内容：点集的Lebesgue外测度及其性质。测度与Lebesgue可测集及其性质。可测集与Borel集。不可测集。

        2、考核知识点：点集的Lebesgue外测度及其性质，测度与Lebesgue可测集及其性质。可测集与Borel集。

        3、考核要求：理解测度的意义。理解外测度的意义，掌握其有关性质。理解可测集的定义，掌握可测集的性质。了解并掌握不可测集的存在性这一结论。

第四章  可测函数

        1、课程内容：可测函数及其性质。叶果洛夫定理。可测函数的构造。依测度收敛。

        2、考核知识点：可测函数的定义和性质，可测函数列的收敛，可测函数与连续函数。

        3、考核要求：掌握可测函数的定义及等价定义。掌握可测函数的有关性质。理解简单函数的定义，掌握可测函数与简单函数的关系。掌握叶果洛夫定理，鲁津定理。理解依测度收敛的意义，掌握依测度收敛与a·e收敛的联系与区别。

第五章  积分论

        1、课程内容：Lebesgue积分的定义和性质，可积函数与连续函数的关系，Lebesgue控制收敛定理，Levi定理、Fatou定理，理解Lebesgue积分和Riemann积分的关系，了解Fubini定理。

        2、考核知识点：勒贝格积分的性质。积分的极限定理。乘积空间的测度，富比尼定理。有界变差函数。不定积分与绝对连续函数。

        3、考核要求：了解黎曼可积的充要条件是被积函数几乎处处连续（不要求掌握证明）。理解勒贝格积分的定义及其建立过程。理解R积分与L积分的关系。理解L积分的性质，特别是掌握L积分的绝对可积性和绝对连续性。掌握勒贝格控制收敛定理、Levi定理、逐项积分定理、积分的可数可加性定理，Fatou引理。掌握Fubini定理（不证）。理解有界变差函数及全变差的定义，掌握其性质。理解Vitali复盖的意义。理解有界变差函数的导数性质。理解不定积分与绝对连续函数的意义，掌握其性质。

三、教学参考书

        1、江泽坚、吴智泉，《实变函数论》，高等教育出版社，1994。

        2、郑维行、王声望，《实变函数与泛函分析概要》，高等教育出版社，1997。

        3、周民强，《实变函数论》，北京大学出版社，2001。

        4、匡继昌，《实分析与泛函分析》，高等教育出版社，2002。